Учебные материалы


«Неберущиеся» интегралы - Н. Э. Баумана (второй семестр) М. 2002г. Лекция



Карта сайта




Скачать полную версию работы Вы можете по ссылке Скачать




malishamdoroga.ru «Неберущиеся» интегралы. Это интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Для таких интегралов приходится вводить специальные символы. Так получается потому, что класс интегралов от элементарных функций шире, чем класс элементарных функций (интегрирование – это переход от частного к общему – обобщение, а дифференцирование – это переход от общего к частному – уточнение). Примеры. и многие другие интегралы. Для них составляются специальные таблицы, которые можно найти в различных учебниках и справочниках. Лекция 5. Определенный интеграл. Задача о площади криволинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком оси OX (основание трапеции), прямыми (на них лежат боковые стороны трапеции) и графиком функции . Так как график функции – кривая линия, то такая трапеция называется криволинейноq b a й. Xi-1 xi Устроим разбиение отрезка точками . Обозначим . На каждом отрезке отметим точку . Вычислим . Обозначим - площадь части криволинейной трапеции над отрезком , S – площадь всей криволинейной трапеции. Тогда Пусть функция непрерывна на каждом отрезке . По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство , где - нижняя и верхняя грани функции на отрезке . Тогда Сумма называется интегральной суммой, суммы , называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу. Будем измельчать разбиение так, чтобы . Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку : . Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при неограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним и верхним интегралами Дарбу. Критерий существования определенного интеграла. Для того, чтобы существовал определенный интеграл по Риману , необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны нижний и верхний интегралы Дарбу. Следствие. Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит

  • от выбора разбиения, лишь бы .
  • от выбора отмеченных точек на элементах разбиения
  • от способа измельчения разбиения, лишь бы . Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое конкретное разбиение отрезка, на котором для любого . Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке. Теорема. Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке. Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площади криволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. К понятию интеграла можно придти и от других задач. Например, от задачи о работе переменной по величине силы, не меняющей направления на прямолинейном пути, от задачи о массе отрезка, плотность которого меняется от точки к точке, от задачи о пути тела, движущегося прямолинейно с переменной скоростью. Фактически, все эти задачи формально сводятся к задаче о площади криволинейной трапеции. В задаче о работе силы по оси ординат откладываются значения скалярного произведения вектора силы в данной точке x отрезка на орт оси OX. В задаче о массе отрезка по оси ординат откладываются значения переменной плотности. В задаче о пути, пройденном телом, по оси ординат откладывается величина скорости тела в данной точке. К схеме определенного интеграла сводится любая задача вычисления некоторой величины, аддитивно зависящей от множества, т.е. величины I, удовлетворяющей соотношению , где А, В – отрезки оси OX (в общем случае определенного интеграла по некоторому множеству А, В – некоторые множества). В качестве таких величин можно выбрать длину отрезка, длину кривой, площадь поверхности, объем пространственного тела, массу указанных множеств и т.д. Свойства определенного интеграла.
  • Свойства линейности а) суперпозиции , б) однородности Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)
  • Свойство аддитивности (по множеству) Доказательство. Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму . Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен , первого слагаемого правой части , второго слагаемого правой части .
  • (свойство «ориентируемости» множества). Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет - . Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим .
  • . Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.
  • . .
  • Если на отрезке , то . Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .
  • Если на отрезке , то . Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .
  • .
  • (переменная интегрирования – «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла) Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным. Теорема об оценке определенного интеграла. Пусть на отрезке и функция интегрируема на отрезке. Тогда Доказательство. Интегрируя по свойству 7 неравенство , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение. Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудно или вообще невозможно, но приблизительно оценить его необходимо. Это часто встречается в инженерной практике. Пример. . Такой интеграл «не берется». Но на отрезке . Поэтому, учитывая четность подинтегральной функции, получим . Конечно, это – очень грубая оценка, более точную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования. Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует , что (или ). Геометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой . Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своей верхней и нижней грани. По теореме об оценке , откуда, деля на , получим . По второй теореме Больцано – Коши функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значения между m и M. В частности, существует и такая точка , в которой функция принимает свое промежуточное значение , т.е. Лекция 6. Формула Ньютона – Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Определенный интеграл представляет собой функцию пределов интегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретации интеграла как площади криволинейной трапеции. Изменяя пределы интегрирования, мы изменяем основание трапеции, изменяя тем самым ее площадь. Рассмотрим интеграл как функцию верхнего предела интегрирования – интеграл с переменным верхним пределом . Переменная интегрирования по свойству 9 определенного интеграла – «немая переменная», ее можно заменить z или t или как- либо еще. Никакого отношения к верхнему пределу интегрирования она не имеет. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу (основная теорема математического анализа) Пусть функция непрерывна на отрезке , пусть . Тогда . Доказательство. . При доказательстве мы воспользовались теоремой о среднем и непрерывностью функции . Формула Ньютона – Лейбница. Пусть функция непрерывна на отрезке - некоторая первообразная функции . Тогда . Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что , т.е. - первообразная для функции . По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е. Но (свойство 4 определенного интеграла), поэтому . Тогда . Следовательно, . Формула Ньютона – Лейбница - это одна из немногих формул - связок, связывающих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах. Мы встречались с такими формулами или теоремами – связками. Например, теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия – теоремы о средних значениях связывают дифференциальное исчисление и теорию экстремума. В дальнейшем мы тоже будем встречаться с теоремами – связками, они всегда играют фундаментальную роль, например теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса в векторном анализе. Методы вычисления определенного интеграла. Методы вычисления остаются теми же, что и методы вычисления неопределенного интеграла, но разница есть. В неопределенном интеграле, делая замену переменной, надо затем возвратиться к исходной функции, в определенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются и пределы интегрирования для новой переменной. Определенный интеграл при постоянных пределах интегрирования – число и все равно, в каких переменных считать это число. Но требование взаимной однозначности функции – замены и в определенном интеграле сохраняется, просто оно маскируется условиями теоремы о замены переменной. Метод замены переменной. Пусть 1) непрерывны при ,
  • значения , не выходят за границы ,
  • , Тогда Доказательство. . Пример . Упражнение. Найдите ошибки в применении теоремы о замене переменной. Метод интегрирования по частям. Пусть функции непрерывны на . Тогда Доказательство остается тем же, что для неопределенного интеграла, только интегрирование проводится в пределах от a до b. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. , так как . Интегрирование периодических функций на отрезке длины, кратной периоду. Два свойства периодических функций.
  • Если - периодическая функция с периодом T, то - периодическая функция с периодом . Доказательство. . Поэтому период равен , период равен и т.д.
  • Если - периодическая функция с периодом T, то Доказательство. Поэтому интеграл от периодической функции на отрезке, длиной равной периоду, можно вычислять на любом таком отрезке, результат будет тем же самым. Заметим, что . Поэтому, например, . Когда встречаются интегралы от синусов и косинусов на отрезке длины, кратной периоду, то такие интегралы вычислять не стоит, они равны нулю. Лекции 7, 8 Несобственные интегралы. Мы строили определенный интеграл по отрезку - конечные числа, т.е. по конечному промежутку числовой оси. Кроме того, предполагалось, что подинтегральная функция непрерывна на отрезке или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода. Если снимается хотя бы одно из этих условий, то понятие интеграла надо обобщать, вводя в прежней конструкции интеграла предельный переход и получая так называемые несобственные интегралы. Если снимается первое условие, то мы имеем несобственный интеграл первого рода, если снимается второе условие, то мы имеем несобственный интеграл второго рода. Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода). Пусть отрезок числовой оси неограничен. Это возможно в трех случаях: . Определим несобственные интегралы как пределы , , . В последнем интеграле a и b независимо друг от друга стремятся к . Если , то предел в правой части последнего равенства называется главным значением несобственного интеграла. Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся. Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах. Пример. , интеграл сходится. Пример. , интеграл расходится. Пример. сходится при и расходится при . Проверьте это. Рассмотрим интеграл Дирихле . . При , интеграл расходится. Итак, несобственный интеграл Дирихле первого рода сходится при расходится при Признаки сравнения несобственных интегралов (достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов). 1 признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство . Если интеграл сходится, то и интеграл сходится. Если интеграл расходится, то и интеграл расходится. Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке , . Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b. Если сходится ( = I), то при любом b > a = I (I – конечное число). Поэтому - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел , т.е. интеграл сходится. Пусть теперь расходится. Если сходится, то по доказанному и сходится, противоречие. Теорема доказана. Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Если значения одной функции больше, чем значения другой функции, то и соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если эта площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не подведет, а «очевидное» иногда подводит. 2 признак сравнения. Теорема. Пусть при x>a . Если существует конечный предел , то интегралы , , сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится). Доказательство. Из определения предела следует . Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , а, следовательно, сходится интеграл . Если интеграл сходится, то сходится интеграл , а, следовательно, по первому признаку сравнения сходится интеграл . Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Теорема доказана. Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции. Пример. сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения . Пример. сходится по первому признаку, интеграл сравнения . Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода). Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка , на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка. Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = . Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = . Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= , тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется = (интегралы в правой части определены выше). Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится. Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах. Пример. Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны. Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница (она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще раз убеждаемся, что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия их применимости. Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода . . При , интеграл расходится. Итак, несобственный интеграл Дирихле второго рода сходится при расходится при Замечание. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n=1. При n>1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n<1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится. Признаки сравнения интегралов остаются верными и для интегралов второго рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции. Примеры. сходится сравнением с несобственным интегралом Дирихле (n= ) по второму признаку сравнения. Вспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентна при бесконечно малой наинизшего порядка малости. Можно доказать эквивалентность непосредственным вычислением предела. расходится сравнением с интегралом по второму признаку сравнения. 1 2 3 4 5 6 7 8


  • edu 2018 год. Все права принадлежат их авторам! Главная